Distribusi Bernoulli

Distribusi teoritis yang menggunakan var random diskrit (var yang hanya memiliki nilai tertentu, nilainya merupakan bilangan bulat dan asli tidak berbentuk pecahan)  yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplementer seperti sukses-gagal, baik-cacat, siang-malam, dsb

Ciri-ciri:

Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti sukses-gagal

Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap perubahan

Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya

Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tetap

 

Probabilitas sukses adalah p  dengan p = x/n. Nilai x adalah kejadian yang sukses dalam pengamatan n. Probabilitas yang gagal adalah q, dengan q = 1-p

sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas sebagai berikut :

atau

 

Distribusi Bernoulli mempunyai fungsi densitas kumulatif (cdf) :

 

Fungsi General Momen (MGF) :

 

Contoh :

Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban, maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah:

Jawaban benar : P(B) = 1/5

Jawaban salah : P(S) = 1-1/5 = 4/5

Misalkan 5 sususan jawaban benar :

P(B B B B B S) = P(B) P(B) P(B) P(B) P(B) P(S)

1/5 1/5  1/5   1/5  1/5   4/5

= (1/5)4 (4/5)1

 

Distribusi Uniform

Jika x variabel random yang berdistribusi uniform , jika hanya jika x mempunyai fungsi densitas seperti berikut :

 

 

 

di mana

Distribusi ini dilambangkan dengan X ~ UNIF (a,b)

Distribusi tersebut dalam bentuk garafik seperti berikut:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Grafik fungsi densitas untuk distribusi uniform (a,b)

 

Dari definisi tersebut dapat diturunkan sifat mean , variansi dan momennya.

 

Contoh :

Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam . Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam.

a)      Tentukan fungsi densitas peluang dari X

b)      Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih

 

Distribusi Hyper Exponential

Penjelasan

Distribusi Hyper-Eksponensial terjadi dalam teori antrian ketika waktu pelayanan untuk satu unit berdistribusi eksponensial dengan jumlah parameter lebih dari satu.

Distribusi Hiper eksponensial  menetapkan sebuah kelas dari  distribusi-distribusi yang memiliki   standar deviasi yang  lebih  besar dari  nilai  rata-rata mereka. Konsekuensinya, mereka bisa  digunakan untuk mencocokan data  yang  didapat untuk memiliki koefisien variasi yang  lebih  besar  dari  1. Mereka menampilkan kembali data dimana nilai-nilai tinggi dan  rendah terjadi lebih  sering dibanding dengan distribusi eksponensiaL Distribusi data pada  kenvataannya bisa  bimodal, menunjukkan sebuah puncak di sisi  lain  dari  nilai  rata-rata.

 

Fungsi

Fungsi pdf distribusi Hiper-Eksponensial :

 

Distribusi Binomial

Penjelasan

Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,yaitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole)

Ciri-ciri distribusi binomial:

Percobaan diulang sebanyak n kali.

Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal:

“BERHASIL” atau “GAGAL”;

“YA” atau “TIDAK”;

“SUCCESS” or “FAILED”.

Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p.

Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya.

Percobaannya terdiri atas n ulangan (Ronald.E Walpole)

Nilai n < 20 dan p > 0.05

 

Rumus distribusi binomial:

b(x;n,p) = nCx px qn-x, dimana x = 0,1,2,3,…,n

n : banyaknya ulangan

x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

p : peluang berhasil dalam setiap ulangan

q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Fungsi

Di bidang teknik, distribusi ini biasanya digunakan untuk  masalah pengendalian kualitas (quality control).

Contoh

Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas paling banyak dua diantaranya menyatakan sangat puas?

Solusi:

X ≤ 2

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut:

b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =

0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau

b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768

b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960

b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480

+

Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208

 

Distribusi Triangular

Penjelasan

Distribusi triangular merupakan salah satu distribusi peluang kontinu dengan 3 parameter yaitu nilai minimum (a), nilai maksimum (b), dan mode (m).

Fungsi

Digunakan dalam situasi ketiadaan data, terutama jika minimum (a), maximum (b) dan mode (m) dapat diperkirakan.

Mean: (a + m + b) / 3

Variance: (a2 + m2 + b2 – am – ab – mb) /18

Contoh

Jika mengacu pada variabel acak dengan memiliki range (a,b) dimana nilai ce[a,b], dapat dihitung frekuensi pada model c dengan mengacu pada definisi dari distribusi kumulatif F. Diketahui bahwa F(a) = 0 dan F(b) = 1, serta luas segitiga adalah 1/2 alas x tinggi. Selanjutnya dapat dihitung F(b) = 1 = 1/2 (b-a)H, dimana H adalah tinggi dari segitiga. Kemudian H = 2/(b-a), maka f(a) = 0 dan f(c) – 2/(b-a) dan untuk nilai x dimana a < x < c, f didefinisikan oleh lokasi dari x dengan memperhatikan a dan c .

 

 

 

Distribusi Beta

Penjelasan

Distribusi  ini  bersifat  serba  guna  yang  dapat  memiliki berbagai bentuk. Setiap kegiatan diasumsikan memberikan tiga kemungkinan waktu penyelesaian, yaitu:

Optimistic  time  (a)  adalah  waktu  terpendek  untuk  menyelesaikan kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih pendek dari waktu ini sangat kecil.

Most  Likely  Time  (m)  adalah  waktu  yang  paling  mungkin  untuk menyelesaikan kegiatan. Jika kegiatan macam ini berulang kali terjadi, ini merupakan waktu yang paling sering terjadi.

Pessimistic  time  (b)  adalah  waktu  terlama  untuk  menyelesaikan kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih panjang dari waktu ini sangat kecil.

Ciri-ciri distribusi beta adalah bermodus (berpuncak) tunggal, kontinu dan dapat berbentuk simetrik maupun condong ke kiri atau ke kanan.

Fungsi

Fungsi Beta B(α,β) didefinisikan dengan

 

Fungsi pdf distribusi beta

 

Dimana α > 0 dan β > 0

 

Fungsi cdf distribusi beta